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プログラム

2022年9月8日(木)

  • 9:40~10:30 : 桑江一洋
  • 10:40~11:30 : 塩谷隆
  • 13:00~13:50 : 江崎翔太
  • 14:00~14:50 : 石渡聡
  • 15:10~16:00 : 櫻井陽平
  • 16:10~17:00 : 太田慎一

2022年9月9日(金)

  • 9:30~10:20 : 高津飛鳥
  • 10:40~11:30 : 本多正平
  • 11:40~12:05 : 甲斐大貴
  • 13:25~13:50 : Rong Lei
  • 14:00~14:50 : Cong Hung Mai & 五明工
  • 15:10~16:00 : 原宇信 & 笹谷晃平
  • 16:10~17:00 : 三沢正史

講演題目・アブストラクト

  • 桑江一洋
    • 題目 : 測度距離空間の解析の展望、曲率次元条件の深化
    • アブストラクト : 曲率次元をもつ空間はリッチ曲率の下限と次元の上限を 有する測度距離空間として定式化されており、リッチ曲率の下限をもつリーマン多様体や そのグロモフ・ハウスドルフ極限による空間が典型的な例として あげられる。この講演ではRCD空間の概念を拡張する様々な試みについて サーヴェイ的に紹介し、その展望について述べる。

  • 塩谷隆
    • 題目 : 測度距離空間全体の空間の主束の構造
    • アブストラクト : 本講演では，測度距離空間全体の空間上のボックス位相と集中位相の構造について の結果を紹介する．正の実数全体から成る乗法群の測度距離空間全体の空間への スケール変換作用を考えると，1点空間がただ一つの固定点となる． 主結果は，測度距離空間全体の空間から1点空間を除いた部分への上記の作用が 商空間上の局所自明だが自明でない主束の構造をもつ，という主張である． これは，可縮なファイバーをもつ非自明な主束という興味深い例となっている． さらに同様の結果がピラミッドコンパクト化についても成り立つが， その場合は固定点が1点空間のみではない，固定点集合の構造についても 完全に解明した．また，ボックス位相のときに，商空間の単連結性についての 結果も得た．これらの結果は数川大輔氏（九州大）と中島啓貴氏（東北大） との共同研究である．

  • 江崎翔太
    • 題目 : 確率解析とGromovのピラミッド
    • アブストラクト : 測度距離空間(の同型類)全体の上の位相として, 集中位相と呼ばれるものがGromovにより導入されている. 集中位相はLévyやMilmanによる測度の集中現象に基づき, 空間の収束の位相として弱く, 次元が無限大に発散する空間列に対しても良い収束性がある. また, Gromovは集中位相に対する測度距離空間の同型類全体の自然なコンパクト化を与えた. そのコンパクト化の各元をピラミッドと呼ぶ. これらのことから, ピラミッドを扱うことは, ある種の``無限次元空間''を扱うことといえる. 本講演では, 現在までに我々の研究で得られている, 不変量を用いてピラミッドを区別する一般論とその具体例について述べる. その後, 確率解析的対象におけるピラミッドの紹介と今後の展望について述べる. 本講演は, 九州大学の数川大輔氏, 福岡大学の三石史人氏との共同研究に基づく.

  • 石渡聡
    • 題目 : 非対称ブラウン運動の幾何解析
    • アブストラクト : ラプラシアンを生成作用素とするブラウン運動の挙動の幾何解析は幾何学的不等式との関係など これまでに多くの結果が得られている。本講演ではラプラシアンにドリフト項やポテンシャルを付けた非対称作用素 （ドリフト付きシュレディンガー作用素）を生成作用素とする非対称ブラウン運動の幾何解析の展望を述べたい。

  • 櫻井陽平
    • 題目 : Liouville theorems for harmonic maps between singular spaces
    • アブストラクト : 本講演では距離空間の間の調和写像についてお話しする． 特にそのような調和写像のLiouville性（どのような条件下で定値写像になるか）に焦点を当てる． まず距離空間の間の調和写像の理論について，最近の進展を含め簡単に振り返る． そして滑らかなRiemann多様体間の調和写像に対するLiouville定理がどの程度，特異空間に対して拡張可能かについて検討する．

  • 太田慎一
    • 題目 : 曲率次元条件の広がり
    • アブストラクト : 曲率次元条件は微分構造を持たない測度距離空間に対してリッチ曲率の下限の概念を与えるものであり，現在では様々な応用や拡張が知られている。 本講演では特に研究の余地が残っている「負次元」の場合やフィンスラー幾何学との比較などを概説する。

  • 高津飛鳥
    • 題目 : 熱流の形状解析：凹性
    • アブストラクト : Brascamp--Lieb不等式より、対数を取ると凹になる非負値関数を初期値に持つユークリッド空間の熱方程式の解は、いかなる時間においても対数を取ると凹になることが従う。 他の凹性はどうなるかについて、最終解答を与える。本講演は、石毛和弘氏(東大)とPaolo Salani氏（フィレンツェ大学）の共同研究である。

  • 本多正平
    • 題目 : チーガー・コールディング理論とRCD理論の違い，およびそれらの未解決問題について
    • アブストラクト : チーガー・コールディング理論とはリッチ曲率が下に有界なリーマン多様体のグロモフ・ハウスドルフ極限空間を調べる方法を提供し， RCD理論はそれをシンセティックに取り扱う方法を提供する．それらの違いや，今後取り組むと面白い（かもしれない）未解決問題についていくつか紹介する．

  • 甲斐大貴
    • 題目 : アダマール多様体上のレヴィ型確率過程の大域的性質
    • アブストラクト : 負の定数で断面曲率がピンチされたリーマン多様体上のジャンプ過程の挙動を紹介する。 レヴィ測度に適切な仮定をすると既約性、過渡性、保存性が示される。これらの性質はレヴィ型確率過程の多様体上での動径方向を評価する事で明らかになる。 本講演では動径方向の評価方法とその用い方を紹介する。

  • Rong Lei
    • 題目 : On the Jacobi fields on Wasserstein space and Hamilton's Harnack inequalities.
    • アブストラクト : In this talk, we will present out recent work on the study of the Jacobi fields along geodesics on the Wasserstein space over a compact Riemannian manifold. This is a joint work with Prof. Xiangdong Li and Dr. Guoping Liu. Moreover, we will present a matrix Harnack inequality of Hamilton type for weighted Laplacian on a compact Riemannian manifold. This is a joint work with Prof. Xiangdong Li.

  • Cong Hung Mai
    • 題目 : A rigidity result of spectral gap on Finsler manifolds and its application
    • アブストラクト : We investigate the rigidity problem for the sharp spectral gap on Finsler manifolds of weighted Ricci curvature bound ${\rm Ric}_{\infty} \geq K > 0$. Our main results show that if the equality holds, the manifold necessarily admits a diffeomorphic splitting (or isometric splitting in the particular class of Berwald spaces). This splitting phenomenon is comparable to the Cheeger-Gromoll type splitting theorem by Ohta as the eigenfunction associated with the optimal first nonzero eigenvalue behaves similarly to the Busemann function. We also obtain the rigidity results of logarithmic Sobolev and Bakry–Ledoux isoperimetric inequalities via needle decomposition as corollaries.

  • 五明工
    • 題目 : 有限グラフの第1固有値の最大化とNadirashvili型定理
    • アブストラクト : グラフの各辺に長さを指定したとき, 対応する頂点の重みと辺の重みを適切に定めて, 離散ラプラシアンを定義することができる. 本講演では, 辺の長さ（辺長パラメータ）を動かして第1固有値を最大化する問題を考え, 極大値を与える辺長パラメータに対して, グラフのユークリッド空間へのよい実現が構成できることを報告する.

  • 原宇信
    • 題目 : On weighted $p$-Poisson equations with unbounded measure data.
    • アブストラクト : We discuss the solvability of weighted $p$-Poisson equations of the type $- \Delta_{p, w} u = \sigma$ in $\Omega$; $u = 0$ on $\partial \Omega$, where $\Omega$ is a domain in $R^{n}$, $1 < p < \infty$, $w$ is a weight on $R^{n}$ satisfying a doubling condition and a Poincaré-type inequality, and $\sigma$ is a nonnegative locally finite Radon measure on $\Omega$. We consider this problem without assuming the global finiteness of $\sigma$ and give sufficient conditions for the existence of solutions via potential theoretic tools.

  • 笹谷晃平
    • 題目 : Systems of Dyadic Cubes of Complete, Doubling, Uniformly Perfect Metric Spaces without Detours
    • アブストラクト : In this talk, I will give the result related to the extension of the standard dyadic cubes of the Euclidean space to general metric spaces in David[1]’s or Christ[2]’s way. More precisely, based on Hytönen and Kairema[3], we will construct systems of dyadic cubes of complete, doubling, uniformly perfect metric spaces, such that any two points in the metric space are connected by a chain of up to three cubes whose diameters are comparable to the distance of the points, in other words, any two points are connected by dyadic cubes without detours. Moreover, I will repot some applications of this result to the evaluation of the Ahlfors regular conformal dimension of metric spaces and the spectral dimension of related stochastic processes. This talk is based on [4].
      [1] G. David, Morceaux de graphes lipschitziens et intégrales sin- gulières sur une surface, Rev. Mat. Iberoamericana 4 (1988), no. 1, 73–114. MR1009120, Zbl 0696.42011.
      [2] M. Christ, A T (b) theorem with remarks on analytic capacity and the Cauchy integral, Colloq. Math. 60/61 (1990), 601–628. MR1096400, Zbl 0758.42009.
      [3] T. Hytönen and A. Kairema, Systems of dyadic cubes in a doubling metric space, Colloq. Math. 126 (2012), no. 1, 1–33. MR2901199, Zbl 1244.42010.
      [4] K. Sasaya. Systems of Dyadic Cubes of Complete, Doubling, Uniformly Perfect Metric Spaces without Detours, to appear in Colloq. Math. arXiv:2110.11696.

  • 三沢正史
    • 題目 : Global existence for the p-Sobolev flow
    • アブストラクト : We shall consider the gradient flow associated with the Sobolev inequality. This gradient flow is described by a doubly nonlinear parabolic type equation fulfilling the volume constraint. The doubly nonlinear parabolic equation consists of the porous medium and the p-Laplace operators and a power nonlinearity with Lagrange multiplier corresponding to the volume constraint. The volume constraint is given as the Sobolev exponent-powered integral of solution itself. The p-Sobolev flow is closely related to the so-called Yamabe flow in the case that p = 2. We shall study the Cauchy-zero Dirichlet problem for the p-Sobolev flow and l report the global existence and local regularity of a positive solution of the problem.

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